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反对称矩阵 | Skew-symmetric Matrix
1 定义
在线性代数中，反对称矩阵（或称斜对称矩阵）是一个方形矩阵，其转置矩阵和自身的加法逆元相等。其满足：
\(A^{\top} = −A\tag{1.1}\)
或写作 \(A = (a_{ij})\)，各元素的关系为：
\(a_{ij} = -a_{ji} \tag{1.2}\)
例如，下例为一个斜对称矩阵：
\(\left[\begin{array}{ccc}
0 & 2 & -1 \\
-2 & 0 & -4 \\
1 & 4 & 0
\end{array}\right]\tag{1.3}\)
2 反对称矩阵与叉乘
定义向量 \(\mathbf{a}=\left(a_{1} a_{2} a_{3}\right)^{\top}\) 和向量 \(\mathbf{b}=\left(b_{1} b_{2} b_{3}\right)^{\top}\)
则有运算：
\(
[\mathbf{a}]_{\times}=\left[\begin{array}{rrr}
0 & -a_{3} & a_{2} \\
a_{3} & 0 & -a_{1} \\
-a_{2} & a_{1} & 0
\end{array}\right]\tag{2.1}\)
在机器人中更常见的写法是用 ^ 运算符号：
\(
\mathbf{a}^{\wedge}=\left[\begin{array}{rrr}
0 & -a_{3} & a_{2} \\
a_{3} & 0 & -a_{1} \\
-a_{2} & a_{1} & 0
\end{array}\right]\tag{2.2}\)
则容易证明有如下公式成立：
\(\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \mathbf{a}^{\wedge}\mathbf{b}\tag{2.3}\)
以及交换律：
\(\mathbf{a}^{\wedge}\mathbf{b} = - \mathbf{b}^{\wedge}\mathbf{a}\tag{2.4}\)
\(\mathbf{a}^{\top}\mathbf{b}^{\wedge} = - \mathbf{b}^{\top}\mathbf{a}^{\wedge}\tag{2.5}\)
同时有以下性质成立：
\(\left( \mathbf{a}^{\wedge}\mathbf{b} \right)^{\wedge} = \left( \mathbf{a} \times \mathbf{b} \right)^{\wedge} = \mathbf{a}^{\wedge}\mathbf{b}^{\wedge} - \mathbf{b}^{\wedge}\mathbf{a}^{\wedge}\tag{2.6}\)
3 反对称矩阵的行列式
反对称矩阵的行列式如下：
\(\operatorname{det}(A)=\operatorname{det}\left(A^{\top}\right)=\operatorname{det}(-A)=(-1)^{n} \operatorname{det}(A)\tag{3.1}\)
4 反对称矩阵的乘法
反对称矩阵连乘
反对称矩阵连乘有如下性质：
\(\mathbf{a}^{\wedge}\mathbf{a}^{\wedge} = -\mathbf{I} + \mathbf{a}\mathbf{a}^{\top}\tag{4.1}\)
和：
\(\mathbf{a}^{\wedge}\mathbf{a}^{\wedge}\mathbf{a}^{\wedge} = -\mathbf{a}^{\wedge}\tag{4.2}\)
更多的连乘用以上性质推算即可。
反对称矩阵与矩阵相乘
定义向量 \(\mathbf{u}=\left(u_{1}, a_{2}, u_{3}\right)^{\top}\) 与任意矩阵 C：
则有如下公式成立：
\((C\mathbf{u})^{\wedge} = C\mathbf{u}^{\wedge}C^{\top}\tag{4.3}\)
5 反对称矩阵的加法
定义向量 \(\mathbf{a}=\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right)^{\top}\) 和向量 \(\mathbf{b}=\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right)^{\top}\)
则有运算：
\(\mathbf{a}^{\wedge}+\mathbf{b}^{\wedge} = (\mathbf{a}+\mathbf{b})^{\wedge}\tag{5.1}\)