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正定矩阵 | Positive-definite Matrix
1 定义
在线性代数中,正定矩阵(正定阵)是 厄米特矩阵 的一种。
如果在实数域,正定矩阵是实对称矩阵的一种。
1.1 实对称矩阵的正定 (positive definite, PD)
一个 \(n×n\) 的实对称矩阵 \(M\) 是正定的,当且仅当对于所有的非零实系数向量 \(z\),都有 \(z^TMz > 0\)。其中 \(z^T\) 表示 \(z\) 的转置。
1.2 厄米矩阵的正定
一个 \(n×n\) 的埃尔米特矩阵(或厄米矩阵) \(M\) 是正定的当且仅当对于每个非零的复向量 \(z\),都有 \(z^*Mz > 0\)。其中 \(z^*\) 表示 \(z\) 的共轭转置。由于 \(M\) 是厄米特矩阵,经计算可知,对于任意的复向量 \(z\),\(z^*Mz\) 必然是实数,从而可以与0比较大小。因此这个定义是自洽的。
2 判定
对 \(n \times n\) 的埃尔米特矩阵 \(M\),下列性质与“\(M\) 为正定矩阵”等价:
参考文献
[1] https://zh.wikipedia.org/zh/%E6%AD%A3%E5%AE%9A%E7%9F%A9%E9%98%B5
[2] https://zhuanlan.zhihu.com/p/81169491
[3] https://www.zhihu.com/question/66922790
[4] https://blog.csdn.net/wu_nan_nan/article/details/75097015
[5] https://zhuanlan.zhihu.com/p/36522776