正定矩阵 (Positive-definite Matrix)

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1 定义

在线性代数中,正定矩阵(正定阵)是 厄米特矩阵 的一种。

如果在实数域,正定矩阵是实对称矩阵的一种。

1.1 实对称矩阵的正定 (positive definite, PD)

一个 n×n实对称矩阵 M 是正定的,当且仅当对于所有的非零实系数向量 z,都有 z^TMz > 0。其中 z^T 表示 z 的转置。

1.2 厄米矩阵的正定

一个 n×n埃尔米特矩阵(或厄米矩阵) M 是正定的当且仅当对于每个非零的复向量 z,都有 z^*Mz > 0。其中 z^* 表示 z 的共轭转置。由于 M 是厄米特矩阵,经计算可知,对于任意的复向量 zz^*Mz 必然是实数,从而可以与0比较大小。因此这个定义是自洽的。

2 判定

n \times n 的埃尔米特矩阵 M,下列性质与“M 为正定矩阵”等价:

  • 一个矩阵 M 是正定矩阵则矩阵 M 的所有的特征值 \lambda _{i} 都是正的。。
  • 一个矩阵 M 是正定实对称矩阵则必然有 M = RR^T,其中 R 的列线性独立,反之也成立。
  • 一个矩阵 M 是正定复厄米特矩阵则必然有 M = RR^{*},其中 R^{*}R的共轭转置,反之也成立。
  • 参考文献

    [1] https://zh.wikipedia.org/zh/%E6%AD%A3%E5%AE%9A%E7%9F%A9%E9%98%B5
    [2] https://zhuanlan.zhihu.com/p/81169491
    [3] https://www.zhihu.com/question/66922790
    [4] https://blog.csdn.net/wu_nan_nan/article/details/75097015
    [5] https://zhuanlan.zhihu.com/p/36522776

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