概率测度 | Probability Measure

1 定义

概率测度是概率空间中定义在一个事件集合上的、满足测度性质（例如可列可加性）的实值函数。概率测度与一般意义上的测度（包括类似面积或体积等概念）的区别在于，概率测度之于整个概率空间的值必须等于1。

2 数学性质

给定一个全集 \(\Omega\)，以及其所有可测量的事件构成的集合 \(\mathcal{E}=\{E\subset \Omega|E\, \text{measurable}\}\)，\(\mathcal{E}\) 代表测度的定义域。则概率测度是这样的一个函数 \(\mu: \mathcal{E}\rightarrow [0,+\infty]\)，其满足如下性质：

• \(\mu\) 的返回值必须在 \([0, 1]\) 之间，且对于空集 \(\emptyset\) 其返回值为 \(\mu(\emptyset)=0\)；对于全集 \(\mathcal{E}\) 其返回值为 \(\mu(\mathcal{E})=0\)
• 对于互斥的事件集合 \(\)，概率测度函数满足可列可加性：
  \(\mu\left(\bigcup_{i \in I} E_{i}\right)=\sum_{i \in I} \mu\left(E_{i}\right)\tag{1}\)

3 条件概率

对于概率测度函数 \(\mu\)，以及两个可测事件 \(A\) 和 \(B\)。其条件概率的定义为：
\(\mu(B \mid A)=\frac{\mu(A \cap B)}{\mu(A)}\tag{2}\)

参考文献

[1] https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%A6%82%E7%8E%87%E6%B5%8B%E5%BA%A6
[2] https://en.wikipedia.org/wiki/Probability_measure
[3] https://blog.pluskid.org/?p=765