正定矩阵 | Positive-definite Matrix

1 定义

在线性代数中，正定矩阵（正定阵）是 厄米特矩阵 的一种。

如果在实数域，正定矩阵是实对称矩阵的一种。

1.1 实对称矩阵的正定 (positive definite, PD)

一个 \(n×n\) 的实对称矩阵 \(M\) 是正定的，当且仅当对于所有的非零实系数向量 \(z\)，都有 \(z^TMz > 0\)。其中 \(z^T\) 表示 \(z\) 的转置。

1.2 厄米矩阵的正定

一个 \(n×n\) 的埃尔米特矩阵(或厄米矩阵) \(M\) 是正定的当且仅当对于每个非零的复向量 \(z\)，都有 \(z^*Mz > 0\)。其中 \(z^*\) 表示 \(z\) 的共轭转置。由于 \(M\) 是厄米特矩阵，经计算可知，对于任意的复向量 \(z\)，\(z^*Mz\) 必然是实数，从而可以与0比较大小。因此这个定义是自洽的。

2 判定

对 \(n \times n\) 的埃尔米特矩阵 \(M\)，下列性质与“\(M\) 为正定矩阵”等价：

参考文献

[1] https://zh.wikipedia.org/zh/%E6%AD%A3%E5%AE%9A%E7%9F%A9%E9%98%B5
[2] https://zhuanlan.zhihu.com/p/81169491
[3] https://www.zhihu.com/question/66922790
[4] https://blog.csdn.net/wu_nan_nan/article/details/75097015
[5] https://zhuanlan.zhihu.com/p/36522776