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拉普拉斯算子 (Laplace operator, Laplacian)

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1 定义

拉普拉斯算子是 n 维欧几里得空间中的一个二阶微分算子,其定义为对函数 f 先作梯度运算(\nabla f)后,再作散度运算(\nabla \cdot \nabla f)的结果。因此如果 f 是二阶可微的实函数,则 f 的拉普拉斯算子定义为:
\begin{equation} \Delta f=\nabla ^{2}f=\nabla \cdot \nabla f \end{equation}

f 的拉普拉斯算子也是笛卡儿坐标系 x_{i} 中的所有非混合二阶偏导数:

\begin{equation} \Delta f=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}^{2}}} \end{equation}

2 坐标表达式

2.1 二维坐标

2.1.1 二维笛卡尔坐标系

二维笛卡尔坐标系下的表示法:
\begin{equation} \Delta f = \frac{\partial^2f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \end{equation}

2.1.2 二维极坐标系

二维极坐标系下的表示法:
\begin{equation} \Delta f = {1 \over r} {\partial \over \partial r} \left( r {\partial f \over \partial r} \right) + {1 \over r^2} {\partial^2 f \over \partial \theta^2} \end{equation}

2.2 三维坐标

2.2.1 三维笛卡尔坐标系

三维笛卡尔坐标系下的表示法:
\begin{equation} \Delta f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}. \end{equation}

2.2.2 三维圆柱坐标系

三维圆柱坐标系下的表示法:
\begin{equation} \Delta f = {1 \over \rho} {\partial \over \partial \rho} \left( \rho {\partial f \over \partial \rho} \right) + {1 \over \rho^2} {\partial^2 f \over \partial \theta^2} + {\partial^2 f \over \partial z^2 }. \end{equation}

2.2.3 三维球坐标系

三维球坐标系下的表示法:
\begin{equation} \Delta f = {1 \over r^2} {\partial \over \partial r} \left( r^2 {\partial f \over \partial r} \right) + {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta} \left( \sin \theta {\partial f \over \partial \theta} \right) + {1 \over r^2 \sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \phi^2}. \end{equation}

参考材料

[1] https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%8B%89%E6%99%AE%E6%8B%89%E6%96%AF%E7%AE%97%E5%AD%90

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